En tant que jeunes scientifiques, notre démarche a pris naissance principalement grâce à nos recherches et notre documentation. Voici les livres, les revues ou encore les sites internet qui nous ont aidés tout au long de cette année à construire notre TPE. Toutes ces informations nous auront permis de construire notre démarche et de nous lancer à notre tour dans le vif du sujet en émettant des hypothèses et en proposant des idées expérimentales.

Livres :

Le nombre d'or . De M. Neveux / H.E.Huntley.

Nombre d'or,nature et oeuvre humaine . De Robert Chalavoux.

Les malices du kangourou : spécial nombre d'or.

Sciences et Avenir. Hors série : Le mystères des nombres.

Les cahiers de science & vie.   n°106 de Septembre 2008.

TDC : les nombres   n°869

Sites :

http://trucsmaths.free.fr/

http://www.lenombredor.free.fr

http://www.nombredor.be/

http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/

http://nombre-dor-.html

Il est l'heure, pour nous, de conclure sur ce sujet. Les TPE étant aujourd'hui terminés, nous rendons ce blog en guise de production final. Vous aurez pu y découvrir ou redécouvrir le thème que nous avons abordé, à savoir le nombre d'or. C'est à travers ce blog que nous avons tenter de vous faire passer nos recherches, ce que nous avons pu apprendre, ainsi que notre démarche , ce que nous avons pu découvrir et conclure.

Il est un nombre et restera avant toutes choses mathématique, ces propriétés unique et remarquable sont indéniable. Nous en avons d'ailleurs évoqué bon nombre tout au cours de nos explications. Il est désormais claire que ce nombre est présent tout autour de nous et en particulier dans la nature par le biais de la phyllotaxie, une branche de la botanique s'intéressant à la disposition des fleurs, bourgeons ou rameaux sur une tige. On le retrouve également dans le règne animal, notamment avec le nautile par la structure spiralé qu'il possède.

Toutefois, cette présence reste très profondément lié aux mathématiques puisque c'est la suite de Fibonacci qui bien souvent nous permet de comprendre le liens qu'il existe entre le nombre d'or et les élément naturel. Cette suite connait bien sur des propriétés très intéressantes comme nous avons pu le voir et est bien entendu en rapport directe avec notre nombre. Sa présence n'est pas seul chose digne d'intérêt chez ce nombre, il se lie effectivement à des propriétés plus que troublante. Les angles d'or permettent par exemple un ensoleillement optimal, ce qui lui vaut sa présence dans le monde végétal grâce à la sélection naturelle. On le retrouve également dans bon nombre de monument ancien, des tableaux de la renaissance ou encore de l'art moderne.

Il nous est apparut que ce nombre est fortement apprécié pour ses proportions et le plaisir qu'il offre à l'œil humain par sa « divine proportion » et notre sondage, hélas réalisé sur un panel trop faible, nous montre tout de même des résultats très concluants.

Il y a donc un véritable aspect scientifique qui se cache derrière ce nombre mais la part de mystère qui l'entour reste omniprésent. Alors que certaine société lui ont voué un culte, il est de nous jours, encore très difficile de percé le mythe. La limite entre science et mystère se construit dans nos esprits, il ne faut pas perdre de vu que chercher ce nombre par tous les moyen aboutira forcement à trouver sa présence. Prendre du recul peux s'avérer d'une importance capital pour ne pas tomber dans la dérision, il est donc important, et nous avons pris soin d'y faire bien attention, de garder un esprit critique sur tout ce qu'on nous dit à propos de ce nombre et de ses propriétés divines.

Le monde n'est-il conçut que de maths, de nombre et de logique ? Nous espérons que ce blog aura été le plus claire possible et d'une agréable lecture. S'il nous est venu l'idée d'une telle production, la raison est bien simple. En effet, il nous sera aisé de continuer à publier et donc à enrichir d'informations les quelques pages que nous avons consacré au nombre d'or.

Il est probable qu'au fil de la lecture de ce blog vous vous soyez demandé à quoi bon

ce nombre pourrait-il servir dans le quotidien du commun des mortels ?

C'est pour cela que nous vous proposons une nouvelle piqûre de mathématiques en lien direct avec la vie de tous les jours : les jeux de hasard !

En effet , qui n'a jamais voulu avoir une stratégie gagnante à tous les coups ?!

 Le jeu des allumettes d'or que l'on doit au Mathématicien Wythoff répond parfaitement à cette idée. Commençons par expliquer le principe du Jeu.

En premier lieu, il y a deux tas d'allumettes sur la table ( chacun contenant un nombre d'allumettes différent bien entendu ) , chaque joueur lorsque son tour arrive peut :

-Retirer autant d'allumettes qu'il le souhaite dans l'un des tas.

-Retirer le même nombre ( mais celui qu'il souhaite , bien sûr ! ) d'allumettes dans les deux tas.

Le gagant est celui qui prend la dernière allumette !

La stratégie gagnante est enfantine. Il suffit de se placer dans un repère ou l'on place un point qui représente l'état du jeu. Ce point ce muni de deux coordonées , en abscisse le nombre d'allumettes d'un des tas et en ordonné le nombre d'allumettes dans l'autre tas. Il devient dès lors beaucoup plus simple de suivre l'évolution du jeu.

Nous avons tout à l'heure parlé de φ et ses propriétés, voyons maintenant ces multiples :

φ ≈ 1,618                     2φ  ≈ 3,236                   3φ ≈ 4,854  

4φ ≈ 6,472                   5φ ≈ 8,092                    6φ ≈ 9,708  

Et regardons maintenant les multiple des carrés :

φ² ≈ 2,618                    2φ² ≈ 5,236                   3φ² ≈ 7,854 

4φ² ≈ 10,472                5φ² ≈ 13,091                6φ² ≈ 15,708  

On remarque que les parties entières de φ et de φ² couvrent l'ensemble N !

Ce qui est remarquable et qui risque de vous étonner, c'est que de cette propriété unique, découle la stratégie gagnante !

Il vous suffit de placer le point dans un couple de coordonnées

[ E (nφ) ; E (nφ²) ]  ou  [ E (nφ²) ; E (nφ) ]

( ici E est la fonction partie entière )

Une fois le point placé dans un tel ensemble de coordonnées, votre adversaire ne pourra plus atteindre l'ensemble ( 0 ; 0 ) et ne pourra jamais lorsque c'est son tour se replacer dans un ensemble comme celui-ci.  Dès lors, il vous sera aisé à chacun de vos coups de vous remettre dans un ensemble de coordonnées [ E (nφ) ; E (nφ²) ]  ou  [ E (nφ²) ; E (nφ) ]  jusqu'à ce que la partie se finisse et que vous soyez déclaré vainqueur !

Il y a encore un fois présence de ce nombre là où on ne l'attend pas et cette fois-ci, tout le monde peut en profiter !

Afin d'évaluer le coté esthétique du nombre nous avons réalisé un sondage.

Adonis a en effet construit avec Géogébra 6 figures : Un carré , 3 rectangles , un rectangle d'or et un rectangle dont les proportions se rapprochent de celle du rectangle d'or. Nous avons ensuite disposés ces 6 rectangles ( le carré étant un rectangle particulier ) sur une feuille en y ajoutant la question suivante : Quel rectangle vous semble le plus harmonieux ? Nous sommes par la suite passés dans les classes de : 1ère L , 1ère ES, Terminale S1 , Terminale ES et la notre , 1ère S pour proposer ce petit sondage à nos camarades. Nous l'avons également proposé à quelques professeurs .

Les résultats vous sont présentés ci-dessous.

          >>>  Sondage <<<

On constate que 44% du panel a voté pour le rectangle d'or. De plus les résultats par classe sont concluants hormis pour la classe de 1ère L. 

Toute fois le panel n'est pas très large et notre conclusion n'est pas une affirmation.

Nous pouvons en effet prendre quelques pas de recul et nous demander s'il plaît à toutes les personnes et à tous les âges. De plus, est-il vraiment partout ou seulement là où l'homme le cherche ?

Il semblerait toutefois qu'une majorité de la population ait l'oeil attiré par les proportions que propose ce nombre. Un mouvement philosophique se serait donc bâti autour de lui créant ainsi une sorte de culte sur un nombre dit divin. 

Le nombre d'or fût utilisé lors de la construction de nombreux monuments. Le Parthénon et la pyramide de Khéops en sont deux bons exemples. 

Dans le cas du célèbre monument grec, de nombreuses études ont montré la présence du nombre d'or au sein de sa structure. Effectivement, comme nous pouvons le voir dans la photographie ci-dessous, la façade du Parthénon s'inscrit dans un rectangle d'or. Toutefois certaines contre-études ont prouvé que cela n'était pas tout à fait exact, en effet les colonnes ne seraient pas tout à fait verticales. Nous pouvons dès lors nous demander où se trouve la limite entre la réalité scientifique et la part de mystère qui entoure ce nombre.

Cet édifice fut en partie conçu par le sculpteur grecque Phidias, c'est en son honneur que la lettre Grecque φ est de nos jours utilisée pour désigner le nombre. 

Nous avons cherché à comprendre le pourquoi de la présence du nombre dans de tels endroits, c'est en deux points que nous l'aborderons.

- Joue t-il un rôle dans la solidité des bâtiments ?

- Pourquoi Phi est t-il présent dans l'édification des bâtiments de l'antiquité?

Afin de répondre à la première de ces questions, voici un petit calcul qui nous montrera la présence de Phi dans l'équilibre d'un bâtiment.

Considérons un parallélépipède rectangle , puis par homothétie , un second cette fois ci plus petit. Afin d'être plus clairs nous travaillerons en deux dimensions, sur une coupe verticale. Appelons le grand rectangle ABCD puis retirons de celui-ci le plus petit qui sera ainsi nommé : A' B' C D' ( Le point C est en commun aux deux rectangles ) . Nous obtenons donc :

AD / AB = A'D' / A'B' = AB / A'B' = AD / A'D' =  x .   Notons G1 et G2 les barycentres respectifs des rectangles ABCD et A'B'CD' .

Soit :  XG1 ( abscisse de G1 ) = AB / 2  et XG2 = AB - A'B' /2 .

Nous cherchons maintenant l'abscisse de G , barycentre de la construction. 

Ce qui nous donne : 

xG =  [ AB.AD.(AB/2) - A'B' . A'D' ( AB -  A'B'/2 ) ] / [ AB.AD - A'B'.A'D' ]

  on a : AB.AD  coefficient pondéré de G1

           - A'B'.A'D' coefficient pondéré de G2.

Nous cherchons ensuite les endroits pour lesquels  xG > AB - A'B'  

Dans un tel cas, le bâtiment s'effondre puisque le centre de gravité n'appartient plus à la construction.

On obtient en simplifiant ce calcul : x³ - 2x² + 1 < 0 .

Prenons F(x) = x³ - 2x² + 1  ont a , F'(x) = 3x² + 4.  Ce qui nous permet d'obtenir un tableau de variations. 

Nous travaillons donc sur l'ensemble R+ puisque nous sommes comme vous l'avez compris avec des longueurs.

A partir du tableau de variations obtenu, nous pouvons désormais résoudre notre inéquation .

Nous pouvons constater que S = ] 1 ; φ [ . En somme , pour x compris entre 1 et Phi , la construction s'écroule ! Il est donc incroyable de constater que ce nombre ce retrouve une nouvelle fois dans un domaine tout autre que les mathématique. 

La deuxième problématique prend réponse dans nos recherches : Les proportions proposées par ce nombre, pourtant subjectives, plaisent à l'oeil humain. C'est donc l'esthétique et cette notion de " beauté divine " qui entraine la présence du nombre d'or dans l'architecture et par la suite dans l'art ( à la renaissance avec notemment De Vinci  et son Homme de Vitruve ou  " La naissance de Vénus " de Botticelli ).

Est-il bon de se fier à toutes les choses auxquelles ce nombre est associé ? Nous allons désormais, pour répondre à ceci , nous éloigner de la science. Ce nombre étant reconnu pour son aspect esthéthique, le prochaine article vous propose un petit sondage réalisé dans l'objectif de vous faire prendre un peu de recul par rapport à tout ce qui entoure ce nombre et de lever une petite part du mystère.

Nous vous proposons une vidéo mettant en évidence la suite de Fibonacci et donc le nombre d'or dans l'ananas. L'écorce de l'ananas se compose d'écailles organisées en structure spiralée. Les résultats ont été très concluant, en effet nous observons, sur les spirales de l'ananas, dans un sens treize écailles et dans l'autre huit. De plus, si l'on compte le nombre de spirales nous obtenons treize dans un sens et huit dans l'autre.

Nous avons réalisé une expérience similaire avec un chou-fleur et une pomme de pin. Les résultats furent également très concluants .

Nous pouvons donc déceler très clairement la présence des termes de la suite de Fibonacci dans la nature, au moyen de la phyllotaxie. Comme nous l'avons vu, la suite de Fibonacci étant directement liée au nombre d'or, ce dernier se révèle donc très présent dans le milieu naturel.

De plus, nous avons réalisé une expérience ayant pour but de montrer l'intérêt du nombre d'or dans la croissance des plantes. Nous disposons donc dans une première boîte de culture des gouttes d'euglènes de manière aléatoire. Puis dans une seconde boîte, nous les disposons sur le modèle d'une spirale logarithmique. Nous espérions que les euglènes placés dans la seconde boite se développeraient mieux (les euglènes étant autotrophe). Hélas, les résultats n'ont pas été concluant.

Notre hypothèse se révèle partiellement correcte, nous avons pu noter une présence indéniable du nombre d'or dans la phyllotaxie. Les expériences de Douady et Couder associées à nos recherches et nos propres expériences nous ont montré les avantages de ce nombre : la sélection naturelle l'a choisi au fil du temps pour ses propriétés permettant l'ensoleillement optimal des plantes (grâce aux angles et aux spirales), ce qui entraine un meilleur développement de la plante.

Le nombre d'or est avant tout un nombre , il reste donc principalement mathématique.

Toutefois, ses propriétés ne se retrouvent-elles que sur le plan mathématique ?

A partir de la géométrie et de la section d'or, nous obtenons une équation du second degré.

x² - x - 1 = 0 . La racine positive de cette dernière est le nombre d'or :

( 1 + √ 5 ) / 2 , noté φ ( prononcé " Phi " ) ; la seconde racine est ( 1 - √ 5 ) / 2 on la nomme conjuguée de φ on le notera : φ' . Phi est approximativement égal à 1,618.

On remarque donc que φ .φ ' = - 1

ou encore  φ + φ ' = 1 

et φ ' = - 1 / φ . 

Les propriétés mathématiques de ce nombre sont exceptionnelles, prenons par exemple

1 / φ = φ - 1 !

Regardons  également  les puissances :

φ ² = φ + 1.    φ^4 = 3 φ +2.    φ^6 = 8 φ + 5.

φ³ = 2φ + 1.    φ^5 = 5φ + 3.    φ^7 = 13 φ + 8. 

Nous retrouvons ici les termes de la suite de Fibonacci que nous verrons dans un instant.

De plus via la première propriété φ ² = φ + 1 , on obtient  : φ = √ (φ + 1 ) et ainsi de suite.

Les fractions continues ne s'arrêtent jamais, cela nous montre que le nombre d'or n'est pas un nombre rationnel . Phi est d'ailleurs le plus irrationnel des réels.

 A partir de l'équation x² - x - 1 = 0 on obtient :

φ= 1+ 1/ φ cela nous conduit si l'on remplace  φ par son expression sous le trait de fraction à une fraction continue. Toutefois, 1 doit toujours être le seul dénominateur. On observe alors à chaque étape des quotients tels que :

3/2    5/3    8/5    13/8  ...   Ces quotients tendent vers le nombre d'or ! Ils nous amènent également vers la suite Fibonacci !

La suite de Fibonacci fût créée par Leonard de Pise, il pose le problème suivant :

« Un homme met deux lapins en couple, il cherche à savoir combien de couples de lapins il aura au bout d'un an si chaque couple engendre tous les mois au bout de 3 mois d'existence un nouveau couple de lapins »

Cette suite est définie par récurrence à partir des deux premiers termes de la manière suivante :

On a :  F1 = F2 = 1  et n ≥ 2. ( Fn ) étant la suite de Fibonacci. On obtient :

Fn = Fn-2 + Fn-1 .

Les premiers termes sont :

F1 = F2 = 1  ;  F3 = 2  ;  F4 = 3  ;  F5 = 5  ;  F6 = 8  ;  F7 = 13

Cette suite est bien évidemment liée au nombre d'or comme nous allons l'expliquer. Voici quelques propriétés intéressantes de cette célèbre suite :

La limite de ( Fn+1 / Fn ) quand n tend vers l'infini est égale à φ.  De plus, ces quotients sont alternativement inférieurs et supérieurs à φ exemple :

3 / 2 = 1,5 et 5 / 3 ≈ 1,67 .

Il y'a donc un lien direct avec le nombre d'or.

Mieux encore, voyons une vieille illusion géométrique connue sous le nom de Paradoxe de Lewis Carroll ( le célèbre auteur d'Alice au pays des merveilles ) . Comme l'explique Anthony sur la vidéo , nous prenons un carré de coté 8 découpé en 4 pièces dont les longueurs sont des termes de la suite de Fibonacci, puis en déplacant les pièces , nous formons un rectangle ( jusque là rien de bien difficile ) . Et pourtant, on observe un petit souci, en effet les aires du carré et du rectangle ne sont pas les mêmes, elles varient de 1cm²  !

La réponse à ce problème est bien simple, on constate en effet que le rectangle n'en est pas un, il y a " un vide " le long de la diagonale. En somme les diagonales ne se croisent pas en leur milieux. Cela est lié au fait que le carré d'un nombre de Fibonacci diffère toujours d'une unité du produit de ses voisins. Exemple :

1² - 1x2 = -1                           2² - 1x3 = 1

3² - 2x5 = -1                           5² - 3x8 = 1

Il existe une suite , la suite d'or , dont nous avons déjà vu les valeurs :

φ , φ +1 , 2φ +1 , 3φ +2 .... Ce sont les valeurs des puissances de Phi. Ce qui est incroyable, c'est que si notre carré possède comme mesure les valeurs de la suite d'or alors le carré peut devenir un véritable rectangle ! Le rapport entre le nombre d'or et la suite de Fibonacci est donc désormais évident .

Cette suite n'est pas seulement mathématique, en effet, nous la retrouvons dans des endroits comme la musique ou encore la faune et la flore avec par exemple la phyllotaxie. Le nombre d'or n'est donc pas seulement mathématique, et par ses propriétés exceptionnelles, on peut le retrouver partout mais essentiellement à partir de la suite de Fibonacci.

La nature est ainsi faite que l'on observe un très grand nombre de fleurs à 5 pétales, ces derniers forment un pentagone régulier. Qui plus est, nos recherches nous ont montré que les angles d'or sont présents dans l'agencement des rameaux et des feuilles sur une tige. La branche de la botanique qui étudie ces phénomènes biologiques n'est autre que la phyllotaxie. Nous avons donc abouti au questionnement suivant :

-Pourquoi le nombre d'or est t-il présent dans le règne végétal ?

Puis nous avons émis l'hypothèse qui suit :

-Le nombre d'or joue un rôle dans l'évolution des plantes.

L'expérience de Douady et Couder, consiste à déposer des gouttes de ferrofluides dans une coupelle sur laquelle se trouve un gel de silicone ; ces gouttes se trouvent à intervalles réguliers. Un champ magnétique permet la migration de ces gouttes vers la périphérie de la coupelle. Les deux physiciens ont pu observer qu'une force répulsive s'exerçait entre les gouttes. Ils ont pu constater la présence de spirales répondant aux critères de la suite de Fibonacci : ce sont des spirales d'or. Nous n'avons cependant pas réalisé cette expérience ( manque de temps ) mais une toute autre, plus simple,  que nous exposerons ci-après.

La disposition des rameaux nous montrent le lien entre les angles d'or et la phyllotaxie, mais également entre la suite de Fibonacci et la division d'une tige de plante au niveau des apex. Afin de vérifier notre hypothèse et donc de répondre à notre questionnement, nous avons réalisé des expériences visant à mettre en évidence le nombre d'or dans un ananas, un chou fleur, et une pomme de pin, ainsi qu'une tentative de culture d'euglènes. Ces expériences seront détaillées dans un prochain article.

Nous parlerons ici de l'approche géométrique du nombre d'or. C'est dans ce domaine que les premières propriétés du nombre apparaissent. Nous avons donc étudié le rectangle d'or, le pentagone régulier ainsi que les triangles et les angles d'or, puis la spirale logarithmique.

Adonis, qui a effectué les recherches dans le domaine géométrique, expose ses découvertes à travers la vidéo que nous vous proposons, via des affiches où il a construit les figures citées ci-dessus.                                                                                                                                                     

Nous vous proposons la définition d'Euclide citée dans le chapitre VII des Éléments selon laquelle  

le partage en extrême et moyenne raison d'un segment abouti à ce que l'on nomme aujourd'hui :  la section d'or.

Prenons un segment [AB] coupé en I avec :

AB = a   ,   AI = b  et  IB = a - b.                                                  

Ce segment est partagé en extrême et moyenne raison si on obtient :

a / b =  b / ( a - b )

Alors, a / b = φ . Nous pouvons donc obtenir le nombre d'or par la construction d'un rectangle d'or. De ce rectangle d'or, nous pouvons désormais obtenir une nouvelle figure :

Une approximation d'une spirale logarithmique.

Celle-ci possède une équation polaire, tel que :   r = φ ^ (θ / π)

En effet, nous pouvons trouver cette équation polaire à partir de celle d'une spirale de base. Nous pourrons constater par la suite que notre spirale est équiangle.
C'est alors un cas particulier de spirale logarithmique: elle est d'ailleurs une excellente approximation d'une spirale d'or. L'une de ses propriétés fait d'elle une spirale équiangle, ce qui signifie que si x est un point de la spirale, l'angle entre une droite d passant par le centre de la spirale et x constitue un angle constant avec la tangente T à la spirale en x. Ce qui nous donne l'équation polaire écrite ci-dessus.

Nous pouvons également voir sur cette vidéo les explications d'Adonis sur le pentagone régulier. Il expose les étapes de sa construction, puis illustre ensuite le lien entre ce dernier et le nombre d'or :

on constate un rapport de proportionalité lié au nombre entre les différentes longueurs du pentagone.                                                                                                                      

Par la suite, il dévoile la présence de triangles d'or, dont les angles sont de

36, 72 et/ou 108° :

Ce sont les angles d'or.

Cos 36° = Cos  π / 5 =  (1+√ 5)  / 4 soit : φ / 2 

On trouve aisément les valeurs exactes des angles 72° et 108° à partir des formules de trigonométrie.

Ce qui est incroyable, c'est que nous retrouvons ces angles dans la nature. En effet, certaines plantes voient leurs feuilles disposées selon ces angles et certaines plantes et animaux sont constitués de spirales dorées.

Durant les courtes journées de septembre, trois jeunes disciples de la filière scientifique, se virent recevoir la lourde tâche de choisir un projet qu'il leur faudrait exploiter et expliquer à un jury de scientifiques accomplis . Ils décidèrent de s'intéresser à un sujet entouré par la science et les mystères de la vie : Le nombre d'or.

Ce blog, réalisé dans le cadre de nos TPE à pour but de vous faire découvrir la démarche scientifique de notre groupe : Martin, Adonis et Anthony . Nous y expliquerons notre travail et nos expériences sur un sujet qui dépasse les limites de la science : Le nombre d'or.

Pourquoi avoir choisi ce sujet ?

Notre choix s'est porté sur ce sujet après une discussion et un accord commun entre les membres du groupe. Nous avons pensé au nombre d'or car il nous intéressait pour plusieurs raisons. Tout d'abord, c'est un sujet qui porte principalement sur les mathématiques. De plus, le mythe lié à ce nombre a attiré notre attention et, dans le cadre des TPE, nous avons voulu en savoir plus. Après des recherches, nous en sommes arrivés au questionnement suivant :

Si notre univers était régi par les mathématiques et les nombres, le Nombre d'Or se distinguerait par son omniprésence, ses propriétés exceptionnelles ainsi que son intérêt tout particulier notamment dans la phyllotaxie et l'aspect esthétique que nous aborderons au sein de notre sujet. Nous avons dû diriger nos recherches et expérimentations sur certains aspects du nombre au détriment des autres pour entrer dans le cadre des TPE. Nous allons donc vous exposer ce que nous avons appris sur ce nombre hors du commun et tenter de répondre à la problématique que nous nous sommes posée, à savoir quels sont les utilités de ce nombre et sous quelles formes se manifeste t-il dans notre quotidien ? 

Afin d'introduire des mathématiques, de la biologie et des sciences physiques, nous allons aborder les thèmes suivants :

-L'aspect mathématique et géométrique du nombre d'or ( on le note : φ ) sera réparti tout au long de nos explications pour plus de clarté et pour montrer les liens entre ce dernier et les thèmes abordés. Nous présenterons également le jeu des allumettes d'or, afin d'illustrer certaines propriétés mathématiques du nombre.

-Sa présence dans la nature, représenté dans la faune avec par exemple un coquillage comme le nautile et dans la flore avec la phyllotaxie (branche de la botanique dont nous reparlerons). Cela nous mènera à un questionnement scientifique basé sur la raison de sa présence et  les intérêts qui en découlent.

-Nous remarquerons également la présence de ce nombre dans l'antiquité, en particulier dans l'édification de certains bâtiments (architecture) puis dans les arts, avec la peinture ou même le cinéma. Ce qui lui confère un côté mystique presque divin. Nous en arriverons donc à dire, grâce à un sondage, que ce nombre possède indéniablement des caractéristiques esthétiques remarquables.