Approche géométrique du nombre d'or

Nous parlerons ici de l'approche géométrique du nombre d'or. C'est dans ce domaine que les premières propriétés du nombre apparaissent. Nous avons donc étudié le rectangle d'or, le pentagone régulier ainsi que les triangles et les angles d'or, puis la spirale logarithmique.

Adonis, qui a effectué les recherches dans le domaine géométrique, expose ses découvertes à travers la vidéo que nous vous proposons, via des affiches où il a construit les figures citées ci-dessus.                                                                                                                                                     

Nous vous proposons la définition d'Euclide citée dans le chapitre VII des Éléments selon laquelle  

le partage en extrême et moyenne raison d'un segment abouti à ce que l'on nomme aujourd'hui :  la section d'or.

Prenons un segment [AB] coupé en I avec :

AB = a   ,   AI = b  et  IB = a - b.                                                  

Ce segment est partagé en extrême et moyenne raison si on obtient :

a / b =  b / ( a - b )

Alors, a / b = φ . Nous pouvons donc obtenir le nombre d'or par la construction d'un rectangle d'or. De ce rectangle d'or, nous pouvons désormais obtenir une nouvelle figure :

Une approximation d'une spirale logarithmique.

Celle-ci possède une équation polaire, tel que :   r = φ ^ (θ / π)

En effet, nous pouvons trouver cette équation polaire à partir de celle d'une spirale de base. Nous pourrons constater par la suite que notre spirale est équiangle.
C'est alors un cas particulier de spirale logarithmique: elle est d'ailleurs une excellente approximation d'une spirale d'or. L'une de ses propriétés fait d'elle une spirale équiangle, ce qui signifie que si x est un point de la spirale, l'angle entre une droite d passant par le centre de la spirale et x constitue un angle constant avec la tangente T à la spirale en x. Ce qui nous donne l'équation polaire écrite ci-dessus.

Nous pouvons également voir sur cette vidéo les explications d'Adonis sur le pentagone régulier. Il expose les étapes de sa construction, puis illustre ensuite le lien entre ce dernier et le nombre d'or :

on constate un rapport de proportionalité lié au nombre entre les différentes longueurs du pentagone.                                                                                                                      

Par la suite, il dévoile la présence de triangles d'or, dont les angles sont de

36, 72 et/ou 108° :

Ce sont les angles d'or.

Cos 36° = Cos  π / 5 =  (1+√ 5)  / 4 soit : φ / 2 

On trouve aisément les valeurs exactes des angles 72° et 108° à partir des formules de trigonométrie.

Ce qui est incroyable, c'est que nous retrouvons ces angles dans la nature. En effet, certaines plantes voient leurs feuilles disposées selon ces angles et certaines plantes et animaux sont constitués de spirales dorées.