Parlons mathématiques

Le nombre d'or est avant tout un nombre , il reste donc principalement mathématique.

Toutefois, ses propriétés ne se retrouvent-elles que sur le plan mathématique ?

A partir de la géométrie et de la section d'or, nous obtenons une équation du second degré.

x² - x - 1 = 0 . La racine positive de cette dernière est le nombre d'or :

( 1 + √ 5 ) / 2 , noté φ ( prononcé " Phi " ) ; la seconde racine est ( 1 - √ 5 ) / 2 on la nomme conjuguée de φ on le notera : φ' . Phi est approximativement égal à 1,618.

On remarque donc que φ .φ ' = - 1

ou encore  φ + φ ' = 1 

et φ ' = - 1 / φ . 

Les propriétés mathématiques de ce nombre sont exceptionnelles, prenons par exemple

1 / φ = φ - 1 !

Regardons  également  les puissances :

φ ² = φ + 1.    φ^4 = 3 φ +2.    φ^6 = 8 φ + 5.

φ³ = 2φ + 1.    φ^5 = 5φ + 3.    φ^7 = 13 φ + 8. 

Nous retrouvons ici les termes de la suite de Fibonacci que nous verrons dans un instant.

De plus via la première propriété φ ² = φ + 1 , on obtient  : φ = √ (φ + 1 ) et ainsi de suite.

Les fractions continues ne s'arrêtent jamais, cela nous montre que le nombre d'or n'est pas un nombre rationnel . Phi est d'ailleurs le plus irrationnel des réels.

 A partir de l'équation x² - x - 1 = 0 on obtient :

φ= 1+ 1/ φ cela nous conduit si l'on remplace  φ par son expression sous le trait de fraction à une fraction continue. Toutefois, 1 doit toujours être le seul dénominateur. On observe alors à chaque étape des quotients tels que :

3/2    5/3    8/5    13/8  ...   Ces quotients tendent vers le nombre d'or ! Ils nous amènent également vers la suite Fibonacci !

La suite de Fibonacci fût créée par Leonard de Pise, il pose le problème suivant :

« Un homme met deux lapins en couple, il cherche à savoir combien de couples de lapins il aura au bout d'un an si chaque couple engendre tous les mois au bout de 3 mois d'existence un nouveau couple de lapins »

Cette suite est définie par récurrence à partir des deux premiers termes de la manière suivante :

On a :  F1 = F2 = 1  et n ≥ 2. ( Fn ) étant la suite de Fibonacci. On obtient :

Fn = Fn-2 + Fn-1 .

Les premiers termes sont :

F1 = F2 = 1  ;  F3 = 2  ;  F4 = 3  ;  F5 = 5  ;  F6 = 8  ;  F7 = 13

Cette suite est bien évidemment liée au nombre d'or comme nous allons l'expliquer. Voici quelques propriétés intéressantes de cette célèbre suite :

La limite de ( Fn+1 / Fn ) quand n tend vers l'infini est égale à φ.  De plus, ces quotients sont alternativement inférieurs et supérieurs à φ exemple :

3 / 2 = 1,5 et 5 / 3 ≈ 1,67 .

Il y'a donc un lien direct avec le nombre d'or.

Mieux encore, voyons une vieille illusion géométrique connue sous le nom de Paradoxe de Lewis Carroll ( le célèbre auteur d'Alice au pays des merveilles ) . Comme l'explique Anthony sur la vidéo , nous prenons un carré de coté 8 découpé en 4 pièces dont les longueurs sont des termes de la suite de Fibonacci, puis en déplacant les pièces , nous formons un rectangle ( jusque là rien de bien difficile ) . Et pourtant, on observe un petit souci, en effet les aires du carré et du rectangle ne sont pas les mêmes, elles varient de 1cm²  !

La réponse à ce problème est bien simple, on constate en effet que le rectangle n'en est pas un, il y a " un vide " le long de la diagonale. En somme les diagonales ne se croisent pas en leur milieux. Cela est lié au fait que le carré d'un nombre de Fibonacci diffère toujours d'une unité du produit de ses voisins. Exemple :

1² - 1x2 = -1                           2² - 1x3 = 1

3² - 2x5 = -1                           5² - 3x8 = 1

Il existe une suite , la suite d'or , dont nous avons déjà vu les valeurs :

φ , φ +1 , 2φ +1 , 3φ +2 .... Ce sont les valeurs des puissances de Phi. Ce qui est incroyable, c'est que si notre carré possède comme mesure les valeurs de la suite d'or alors le carré peut devenir un véritable rectangle ! Le rapport entre le nombre d'or et la suite de Fibonacci est donc désormais évident .

Cette suite n'est pas seulement mathématique, en effet, nous la retrouvons dans des endroits comme la musique ou encore la faune et la flore avec par exemple la phyllotaxie. Le nombre d'or n'est donc pas seulement mathématique, et par ses propriétés exceptionnelles, on peut le retrouver partout mais essentiellement à partir de la suite de Fibonacci.